Giải thích: Bài toán 65 tuổi đã được giải như thế nào

Một thuật toán, một siêu máy tính, 2 nhà toán học, không sử dụng năng lượng từ 5 nghìn máy tính gia đình: cho 'niềm vui và triết lý'.

Có bao nhiêu số từ 1 đến 100 có thể được biểu diễn dưới dạng mặt trời của ba hình lập phương? Các nhà toán học hiện đã vượt qua rào cản cuối cùng ở tuổi 33 và 42.

Lấy số 9. Nó có thể được biểu thị bằng tổng của 0, 1 và 8, tương ứng là các lập phương của 0, 1 và 2. Hoặc lấy 17, là 1 + 8 + 8, hoặc tổng các lập phương của 1, 2 và 2. Có bao nhiêu số khác từ 1 đến 100 có thể được biểu thị bằng tổng các lập phương của ba số nguyên (số nguyên, dương hoặc âm)?

Đây là một câu đố có nguồn gốc từ năm 1954-55, khi nó được các nhà toán học Đại học Cambridge mô tả. Nó không phải là dễ dàng như nó có thể trông. Trong khi số 9 và 17 cung cấp các giải pháp với các hình khối dương, một số số yêu cầu âm tính. Ví dụ: 11 là 27 - 8 - 8, có thể được biểu thị bằng (- 8) + (- 8) + 27, hoặc tổng các hình lập phương của - 2, - 2 và 3. Các số khác có thể phức tạp hơn nhiều , yêu cầu hình khối lớn bao gồm âm bản. Chẳng hạn như 51, là tổng các hình khối của - 796, 602 và 659, hoặc (- 504,358,336) + 218,167,208 + 286,191,179.

Hóa ra, không phải con số nào cũng có lời giải. Trong quá trình tìm kiếm lời giải, các nhà toán học đã suy ra một quy tắc cho thấy rằng một số con số nhất định không thể được biểu thị dưới dạng tổng của ba hình lập phương. Đối với những con số không tuân theo quy luật này, họ tiếp tục tìm kiếm giải pháp và tìm ra từng giải pháp một.

Chỉ có hai giải pháp được chứng minh là khó nắm bắt - cho 33 và 42. Vào tháng 3 năm nay, một giải pháp cuối cùng đã được tìm thấy cho 33. Trong tháng này, cùng một nhà toán học đã hợp tác với một nhà toán học khác để tìm ra giải pháp cho 42, đặt vấn đề cuối cùng đã dừng lại.

Điểm của tất cả, nếu có

Tại sao điều quan trọng là chúng ta có thể hoặc không thể biểu thị một số nào đó dưới dạng tổng của ba hình lập phương? Andrew Booker của Đại học Bristol, nhà toán học, người đã nghiên cứu các giải pháp cho cả 33 và 42, cho biết chủ yếu chỉ là một chút vui vẻ. Trang web này , với tư cách là các nhà lý thuyết số, mối quan tâm của chúng ta đối với loại vấn đề này biên giới trên phạm vi triết học, dọc theo dòng 'Liệu nó có thể giải quyết được vấn đề này không?'

Có rất nhiều bài toán dễ nêu nhưng khó giải; người ta cũng phát hiện ra rằng có những vấn đề thực sự không thể giải quyết được.

Vào tháng 3, tạp chí Research in Number Theory đã công bố giải pháp của Booker cho 33 là tổng của ba hình khối, mà ông đã tìm thấy bằng cách sử dụng một thuật toán máy tính. Giờ đây, Booker và một nhà toán học khác, Andrew Sutherland của Viện Công nghệ Massachusetts, đã sử dụng cùng một thuật toán để giải cho 42.

Tìm kiếm và khám phá khó khăn

Một số con số có thể được biểu thị dưới dạng tổng của ba hình khối theo nhiều cách. Ví dụ, 10 là 1 + 1 + 8 (các lập phương của 1, 1 và 2) và cũng là 64 - 27 - 27 (các lập phương của 4, –3, - 3).

Đối với bất kỳ số nguyên nào, có một công thức phỏng đoán cho mật độ trung bình của các giải pháp, Booker nói. Đối với 33 và 42, mật độ đó đặc biệt thấp, ông nói.

Booker đã dành nhiều tuần trên siêu máy tính trước khi tìm ra câu trả lời cho 33. Đối với 42 tuổi, Booker và Sutherland đã sử dụng Charity Engine, một nền tảng do cộng đồng sử dụng khai thác sức mạnh tính toán chưa được sử dụng từ hơn 500.000 máy tính gia đình. Nó cần hơn một triệu giờ tính toán tổng hợp, thời gian thực sẽ ít hơn nhiều. Booker cho biết, chúng tôi đã gặp một số vấn đề khi bắt đầu cài đặt và chạy mã trên mạng của họ, nhưng khi chúng tôi bắt đầu, chúng tôi chỉ mất chưa đầy một tuần để tìm ra giải pháp.

Số 42 là tổng các lập phương của (i) 12.602.123.297.335.631; (ii) 80.435.758.145.817.515; và (iii) trừ đi 80.538.738.812.075.974. Và 33 là tổng các hình lập phương của (i) 8,866,128,975,287,528; (ii) trừ 8.778.405.442.862.239; và (iii) trừ 2,736,111,468,807,040.

Đừng bỏ lỡ từ Giải thích: Tại sao Thủ tướng Modi tham dự một cuộc họp khí hậu đặc biệt bên lề UNGA

Chia Sẻ VớI BạN Bè CủA BạN: